ວິທີການແກ້ໄຂໃຫ້: "ສອງໂຕເລກ 3 ຕົວເລກທີ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງຄິວຂອງພວກມັນແມ່ນຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມົນ, ແລະວີ"?


ຕອບ 1:

ແກ້ໄຂ: ສຳ ລັບຄູ່ສົມລົດທັງ ໝົດ (m, n), m ^ n ໝາຍ ຄວາມວ່າ GCD (m, n), ບໍ່ຄວນສັບສົນກັບ m ^ n, ເຊິ່ງມັນແມ່ນພະລັງງານ n. ສັງເກດວ່າຖ້າ (x, y) ເປັນທາງອອກ, ຫຼັງຈາກນັ້ນ (x * z ^ 6, y * z ^ 6) ກໍ່ແມ່ນທາງອອກ ສຳ ລັບຕົວເລກ z ທັງ ໝົດ. ສະນັ້ນທ່ານອາດຈະເອີ້ນວ່າວິທີແກ້ໄຂເບື້ອງຕົ້ນ, ວິທີແກ້ໄຂທີ່ x ^ y ບໍ່ມີ ກຳ ລັງ 6 ຫຼືໃຫຍ່ກວ່າໃນການເສື່ອມເສີຍທີ່ ສຳ ຄັນ. ການໂທຫາ S = x + y ແລະ D = x - y ບັນຫາຫຼຸດລົງໃນການຊອກຫາ p ແລະ q ເຊັ່ນວ່າ DS = p ^ 3 ແລະ D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. ພາຍໃນປັດໃຈ 2, D ^ S = x ^ y. ໂທ c = D ^ S ແລະຂຽນ D = ac ແລະ S = bc. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 ທ່ານສາມາດຂຽນ c = u ^ 3 * v ^ 2 * w ດ້ວຍວິທີທີ່ເປັນເອກະລັກສະເພາະເຊິ່ງ u, v, w ແມ່ນຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມົນທີ່ບໍ່ເສຍຄ່າຍົກເວັ້ນ u ເຊິ່ງອາດຈະເປັນຕົວແປ 4 . w ແລະ v ແມ່ນ coprime. ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, ສະນັ້ນ a * b * v * w ^ 2 ແມ່ນຄິວກ່າວວ່າ r ^ 3 ເນື່ອງຈາກ w ແມ່ນສີ່ຫຼ່ຽມມົນ, w | r, ເວົ້າວ່າ r = z * w ສະນັ້ນ a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 ນັ້ນແມ່ນ * b * v = z ^ 3 * w. ຕັ້ງແຕ່ w ^ v = 1, w | ab. ຂຽນ a = m_a * w_a ແລະ b = m_b * w_b ພ້ອມ w_a * w_b = w. ທ່ານຈົບດ້ວຍ m_a * m_b * v = z ^ 3, ພ້ອມ m_a ^ m_b = 1 ແລະ v square ຟຣີ. ສິ່ງນີ້ເຮັດໃຫ້ຂໍ້ ຈຳ ກັດໃນ m_a ແລະ m_b, ຄືບໍ່ມີປັດໃຈທີ່ ສຳ ຄັນທີ່ມີຕົວເລກຂອງແບບຟອມ 3 k + 1 ການສຽບນີ້ເຂົ້າໄປໃນ D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ * c * (3 ບ ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 ແມ່ນຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມົນສະນັ້ນ a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) ແມ່ນຮຽບຮ້ອຍ; ແຕ່ ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. ສະນັ້ນມັນເປັນສ່ວນສີ່ຫຼ່ຽມມົນແມ່ນພຽງແຕ່ m_a * u * w_b. ສະນັ້ນພວກເຮົາຕ້ອງການ m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) ເປັນຮູບສີ່ຫຼ່ຽມມົນ. a, b, ແລະຈະຖືກໃຫ້, ທີ່ ກຳ ນົດວ່າເປັນເອກະລັກສະເພາະ. ກົງກັນຂ້າມເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍ



ຕອບ 2:

ສອງຕົວເລກຂອງແບບຟອມ 2 ^ x * 5 ແລະ 2 ^ x * 3 ຈະເຮັດວຽກໄດ້ສະ ເໝີ ຖ້າ x ≡ 1 (mod 6), ໝາຍ ຄວາມວ່າ x = 6k + 1 ສຳ ລັບຕົວເລກ k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 ແລະ [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT ນີ້ບໍ່ໄດ້ໃຫ້ທຸກວິທີການແກ້ໄຂ. ຕົວເລກ 4 ຕົວເລກເບິ່ງຄືວ່າ: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) ສິ່ງເຫຼົ່ານີ້ເປັນຕົວແທນເພີ່ມເຕີມ "ຄອບຄົວຂອງວິທີແກ້ໄຂ" ທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດເພີ່ມເຕີມສອງຢ່າງ, ຄື (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) ແລະ (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (ບໍ່ຄາດຄິດ!) (ນອກຈາກນີ້, (10,6) ບໍ່ເຄີຍຖືກກ່າວເຖິງ. ຂ້ອຍບໍ່ສົນໃຈກັບຕົວເລກຂອງຕົວເລກໃນຈຸດນີ້: ຂ້ອຍຢາກຊອກຫາວິທີແກ້ໄຂທີ່ບໍ່ ສຳ ຄັນທັງ ໝົດ ນີ້) ເປັນຕົວແທນຂອງ j = k = 0 ໃນຄອບຄົວລຸ່ມນີ້.) ໃນຄວາມເປັນຈິງ, ຄອບຄົວ ທຳ ອິດແລະຄອບຄົວທີສອງແມ່ນຄືກັນ: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1) ) * 3 ^ (6k + 1)) ສຳ ລັບ j ໃດ ໜຶ່ງ, k ≥ 0 ນີ້ແມ່ນເຄັ່ງຄັດທີ່ດີ. ຂ້າພະເຈົ້າຕ້ອງຄິດກ່ຽວກັບມັນບາງຢ່າງຕື່ມອີກຫຼັງຈາກພັກຜ່ອນ. ຄວາມຈິງແລ້ວຄອບຄົວທັງ ໝົດ ເຫຼົ່ານີ້ອາດຈະແມ່ນກຸ່ມຍ່ອຍທົ່ວໄປ. EDIT 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 ເຫຼົ່ານີ້ ສອງສຸດທ້າຍມີຄວາມສົນໃຈ. ພວກມັນແມ່ນໂຕ ທຳ ອິດທີ່ x = 3y ແລະ x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) ແມ່ນພົບໄດ້ງ່າຍ, ເຊັ່ນດຽວກັບ x = ຂອງຂ້ອຍ ສຳ ລັບຕົວເລກ m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 ໃນຂະນະທີ່ ຄຳ ຕອບ 5 ຕົວເຫລົ່ານີ້ຍັງສາມາດຂະຫຍາຍໄປສູ່ຊຸດແກ້ໄຂທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ, ຮູບແບບຫຼືວິທີການໃດ ໜຶ່ງ ຂອງການໂຈມຕີເຊິ່ງຈະ ນຳ ໄປສູ່ການແກ້ໄຂທີ່ສົມບູນແບບຍັງບໍ່ຈະແຈ້ງ ສຳ ລັບຂ້ອຍ. (ບາງທີການ ນຳ ໃຊ້ຄວາມຫຼາກຫຼາຍຂອງປັດໃຈທີ່ ສຳ ຄັນ mod 6 ຫຼື ຄຳ ສັ່ງ p-adic ຂອງ ຈຳ ນວນ?.) ນອກຈາກນີ້, ໃນຄູ່ສຸດທ້າຍ, ເປັນຄັ້ງ ທຳ ອິດທີ່ s ບໍ່ສາມາດແບ່ງແຍກໄດ້ໂດຍ t. (ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ເລີ່ມຕົ້ນທີ່ຈະໂຕ້ແຍ້ງວ່າມັນສະ ເໝີ ໄປ.) ນີ້ອາດຈະເປັນພຽງ ໜຶ່ງ ໃນບັນຫາເຫຼົ່ານັ້ນການແກ້ໄຂທີ່ບໍ່ ນຳ ໄປສູ່ຄວາມ ຈຳ ເປັນໃນການກໍ່ສ້າງທີ່ສູດອື່ນນອກ ເໜືອ ຈາກລາຍຊື່ສາມາດອະທິບາຍໄດ້ ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ຄວນມີການວິເຄາະຈຸດຂໍ້ມູນເພີ່ມເຕີມກ່ອນທີ່ຈະກ້າວໄປເຖິງບົດສະຫຼຸບດັ່ງກ່າວ, ແລະຕົວເລກແມ່ນໄດ້ຮັບໄວຫຼາຍ.



ຕອບ 3:

ຜູ້ຊາຍ thats ຕົວປ່ຽນແປງຫຼາຍເກີນໄປທີ່ຈະເຮັດວຽກຮ່ວມກັບ, ພວກເຮົາຕ້ອງການຢ່າງຫນ້ອຍຫນຶ່ງຕົວແປ