Metodo di soluzione per: "due numeri interi di 3 cifre con la differenza tra i loro cubi è un quadrato e vv"?


Risposta 1:

Modifica: per tutte le coppie di numeri interi (m, n), m ^ n significa MCD (m, n), da non confondere con m ^ n, che è m alla potenza n. Si noti che se (x, y) è una soluzione, allora (x * z ^ 6, y * z ^ 6) è anche una soluzione per tutti gli z interi. Quindi potresti chiamare soluzione primitiva, una soluzione in cui x ^ y non ha potenza 6 o maggiore nella sua decomposizione principale. Chiamando S = x + y e D = x - y il problema si riduce a trovare peq tali che DS = p ^ 3 e D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. All'interno di un fattore 2, D ^ S = x ^ y. chiama c = D ^ S e scrivi D = ac e S = bc. Allora DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Puoi scrivere c = u ^ 3 * v ^ 2 * w in un modo unico dove u, v, w sono quadrati liberi tranne u che potrebbe essere un multiplo di 4 w e v sono coprimi. Otteniamo a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, quindi a * b * v * w ^ 2 è un cubo diciamo r ^ 3 Poiché w è quadrato libero, w | r, diciamo r = z * w quindi a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 che è a * b * v = z ^ 3 * w. Poiché w ^ v = 1, w | ab. Scrivi a = m_a * w_a eb = m_b * w_b con w_a * w_b = w. Finisci con m_a * m_b * v = z ^ 3, con m_a ^ m_b = 1 e v quadrati liberi. Questo pone vincoli su m_a e m_b, vale a dire non avere nessun fattore primo con esponente della forma 3 k + 1 Inserendolo in D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 otteniamo a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 è un quadrato quindi a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) è quadrato; Ma ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. quindi la parte quadrata libera è solo m_a * u * w_b. Quindi vogliamo che m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) sia un quadrato. a, b e w sono dati, ciò determina u in modo univoco. Al contrario, inizia con a



Risposta 2:

Due numeri nella forma 2 ^ x * 5 e 2 ^ x * 3 funzioneranno sempre se x ≡ 1 (mod 6), cioè x = 6k + 1 per l'intero k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 AND [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Questo non fornisce tutte le soluzioni. Quelle a 4 cifre sembrano essere: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Questi rappresentano due "famiglie di soluzioni" infinite aggiuntive, vale a dire (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) e (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Inaspettato!) (Inoltre, (10,6) non è mai stato menzionato. Non mi interessa il numero di cifre a questo punto: mi piacerebbe trovare tutte le soluzioni integrali. Questa rappresenta j = k = 0 nella famiglia sottostante.) In effetti, la prima famiglia e la seconda famiglia sono realmente la stessa: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) per qualsiasi integrale j, k ≥ 0 Questo è un buon difficile. Devo pensarci ancora dopo un po 'di riposo. Tutte queste "famiglie" potrebbero infatti essere sottoinsiemi di una o più famiglie. MODIFICA 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Questi gli ultimi due sono interessanti. Sono i primi per i quali x = 3y ex = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) si trova facilmente, così come x = my per intero m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Sebbene queste risposte a 5 cifre possano anche essere estese a insiemi di soluzioni infinite parametrizzate, qualsiasi modello o metodo di attacco che porterebbe a una soluzione globale rimane poco chiaro per me. (Forse l'utilizzazione della molteplicità dei fattori primi mod 6 o l'ordine p-adico dei numeri?) Inoltre, nell'ultima coppia, per la prima volta s non è uniformemente divisibile per t. (Avevo cominciato a supporre che lo sarebbe stato sempre.) Questo potrebbe essere solo uno di quei problemi la cui soluzione non porta a una necessità costruttiva che qualsiasi formula diversa da una lista potrebbe descrivere. Tuttavia, è necessario analizzare più punti dati prima di giungere a tale conclusione e i numeri stanno aumentando molto velocemente.



Risposta 3:

uomo, ci sono troppe variabili con cui lavorare, abbiamo bisogno di almeno una variabile