Mètode de solució per a: "dos enters de 3 dígits amb la diferència entre els seus cubs és un quadrat i vv"?


Resposta 1:

Edita: per a tots els parells d'enters (m, n), m ^ n significa GCD (m, n), que no s'ha de confondre amb m ^ n, que és m fins a la potència n. Fixeu-vos que si (x, y) és una solució, llavors (x * z ^ 6, y * z ^ 6) també és una solució per a tots els z enters. Per tant, podríeu anomenar solució primitiva, una solució on x ^ y no té potència 6 o més gran en la seva descomposició principal. Cridant S = x + y i D = x - y, el problema es redueix a trobar p i q de manera que DS = p ^ 3 i D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Dins d’un factor 2, D ^ S = x ^ y. truca a c = D ^ S i escriu D = ac i S = bc. A continuació, DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Podeu escriure c = u ^ 3 * v ^ 2 * w d'una manera única on u, v, w són quadrats lliures excepte u que podria ser un mutliple de 4 w i v són coprimes. Tenim un * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, de manera que un * b * v * w ^ 2 és un cub, digueu r ^ 3 Com que w és lliure de quadrat, w | r, digueu r = z * w, així que a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 que és a * b * v = z ^ 3 * w. Des de w ^ v = 1, w | ab. Escriviu a = m_a * w_a i b = m_b * w_b amb w_a * w_b = w. Acabeu amb m_a * m_b * v = z ^ 3, amb m_a ^ m_b = 1 i v quadrats lliures. Això posa restriccions a m_a i m_b, és a dir, no tenir cap factor primer amb exponent de la forma 3 k + 1 Connectant-ho a D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 obtenim un * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 és un quadrat de manera que a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) és quadrat; Però ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. per tant, la part lliure quadrada és només m_a * u * w_b. Per tant, volem que m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) sigui un quadrat. Si es donen a, b i w, això determina u de manera única. Al contrari, comenceu amb un



Resposta 2:

Dos números de la forma 2 ^ x * 5 i 2 ^ x * 3 sempre funcionaran si x ≡ 1 (mod 6), és a dir, x = 6k + 1 per a l'enter k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 I [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Això no proporciona totes les solucions. Els de 4 dígits semblen ser: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Aquests representen dues "famílies de solucions" infinites addicionals, a saber (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) i (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Inesperat!) (A més, (10,6) mai no s'ha mencionat. No m'importa el nombre de dígits en aquest moment: m'agradaria trobar totes les solucions integrals. Aquesta representa j = k = 0 a la família següent.) De fet, la primera família i la segona família són realment les mateixes: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) per a qualsevol integral j, k ≥ 0 Aquesta és una bona duresa. He de pensar-hi una mica més després de descansar. De fet, totes aquestes "famílies" podrien ser subconjunts d'una o més generals. EDIT 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Aquests els dos darrers són d’interès. Són els primers per als quals x = 3y i x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) es troba fàcilment, igual que x = my per a l'enter m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Tot i que aquestes respostes de 5 dígits també es poden estendre a conjunts de solucions infinites parametritzades, tot patró o mètode d'atac que condueixi a una solució completa em queda poc clar. (Potser la utilització de la multiplicitat de factors primers mod 6 o l'ordre p-adic dels nombres ?.) A més, en l'últim parell, per primera vegada s no és divisible per t. (Jo havia començat a conjecturar que sempre ho seria.) Aquest pot ser només un d'aquests problemes la solució dels quals no condueix a una necessitat de construcció que qualsevol fórmula que no sigui una llista podria descriure. No obstant això, s’haurien d’analitzar més punts de dades abans d’arribar a aquesta conclusió i les xifres augmenten molt ràpidament.



Resposta 3:

l'home és massa variables per treballar, necessitem almenys una variable