طريقة حل: "عددين صحيحين من 3 أرقام مع الفرق بين مكعباتهما مربع ، و v"؟


الاجابه 1:

تحرير: لكل زوجين من الأعداد الصحيحة (م ، ن) ، m ^ n تعني GCD (م ، ن) ، لا ينبغي الخلط بينه وبين م ^ ن ، وهو م إلى القوة ن. لاحظ أنه إذا كان (x، y) حلاً ، فإن (x * z ^ 6، y * z ^ 6) هو أيضًا حل لجميع الأعداد الصحيحة z. لذلك يمكنك استدعاء الحل البدائي ، وهو الحل الذي لا تمتلك فيه x ^ y قوة 6 أو أكبر في تحللها الأولي. عند استدعاء S = x + y و D = x - y ، تقل المشكلة إلى إيجاد p و q بحيث يكون DS = p ^ 3 و D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. ضمن العامل 2 ، D ^ S = x ^ y. اتصل بـ c = D ^ S واكتب D = ac و S = bc. ثم DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 يمكنك كتابة c = u ^ 3 * v ^ 2 * w بطريقة فريدة حيث تكون u ، v ، w خالية من التربيع باستثناء u التي يمكن أن تكون مضاعفة لـ 4 . w و v هي جريمة مشتركة. نحصل على a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3 ، لذا فإن a * b * v * w ^ 2 عبارة عن مكعب يقول r ^ 3 بما أن w خالية من التربيع ، w | r ، قل r = z * w ، لذا فإن a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 وهذا هو * b * v = z ^ 3 * w. منذ w ^ v = 1، w | أب. اكتب a = m_a * w_a و b = m_b * w_b مع w_a * w_b = w. ينتهي بك الأمر بـ m_a * m_b * v = z ^ 3 ، مع m_a ^ m_b = 1 و v مربع مجاني. هذا يضع قيودًا على m_a و m_b ، أي عدم وجود عامل أولي مع الأس بالصيغة 3 k + 1 ، وسد هذا في D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 نحصل على a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 مربع لذا a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) مربع ؛ لكن ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. لذلك فهو جزء مجاني مربع هو مجرد m_a * u * w_b. لذلك نريد أن يكون m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) مربعًا. أ ، ب ، ث ، التي تحدد ش بشكل فريد. على العكس من ذلك ، ابدأ بـ



الاجابه 2:

رقمان من الشكل 2 ^ x * 5 و 2 ^ x * 3 سيعملان دائمًا إذا كانت x ≡ 1 (mod 6) ، أي x = 6k + 1 للعدد الصحيح k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18 كيلوبايت +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 AND [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6 ك + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12 ك + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12 ك + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12 ك + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT لا يوفر هذا جميع الحلول. يبدو أن الأرقام المكونة من 4 أرقام هي: (7290 ، 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5 ، 2 * 3 ^ 7) (8954 ، 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37 ، 11 ^ 2 * 47 ) تمثل هذه "عائلتين إضافيتين من الحلول" ، وهما (2 * 3 ^ (6k) * 5 ، 2 * 3 ^ (6k + 1)) و (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37 ، 11 ^ (6k + 2) * 47) (غير متوقع!) (أيضًا ، (10.6) لم يُذكر أبدًا. لا يهمني عدد الأرقام في هذه المرحلة: أود أن أجد جميع الحلول المتكاملة. هذا واحد تمثل j = k = 0 في العائلة أدناه.) في الواقع ، العائلة الأولى والعائلة الثانية متماثلتان حقًا: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5، 2 ^ (6j + 1) ) * 3 ^ (6k + 1)) لأي جزء متكامل j، k ≥ 0 هذا جيد جيد. يجب أن أفكر في الأمر أكثر بعد قسط من الراحة. قد تكون كل هذه "العائلات" في الواقع مجموعات فرعية من مجموعة (مجموعات) أكثر عمومية. تعديل 2: (52728، 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3، 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2، x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566، 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3، 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2، x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 هذه الأخيرين من الفائدة. وهما أولهما x = 3y و x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3، 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) يمكن العثور عليها بسهولة ، وكذلك x = my for number الصحيح m) (70434، 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43 ، 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) × ^ 3 - ص ^ 3 = 9107748 ^ 2 ، × ^ 2 - ص ^ 2 = 936 ^ 3 بينما يمكن أيضًا توسيع هذه الإجابات المكونة من 5 أرقام لتشمل مجموعات حلول غير محدودة ذات معلمات ، فإن أي نمط أو طريقة للهجوم تؤدي إلى حل شامل تظل غير واضحة بالنسبة لي. (ربما استخدام تعدد العوامل الأولية mod 6 أو ترتيب p-adic للأرقام؟) أيضًا ، في الزوج الأخير ، لأول مرة ، لا يمكن القسمة بالتساوي على s. (لقد بدأت في التخمين أنه سيكون دائمًا.) قد تكون هذه مجرد واحدة من تلك المشكلات التي لا يؤدي حلها إلى ضرورة بناء يمكن أن تصفها أي صيغة أخرى غير القائمة. ومع ذلك ، يجب تحليل المزيد من نقاط البيانات قبل القفز إلى مثل هذا الاستنتاج ، والأرقام تزداد بسرعة كبيرة.



الاجابه 3:

رجل لديه الكثير من المتغيرات للعمل معها ، نحتاج إلى متغير واحد على الأقل