حل کا طریقہ: "دو تین ہندسوں کے انٹیجرز جس کے کیوب کے درمیان فرق ہے وہ ایک مربع ہے ، اور vv"؟


جواب 1:

ترمیم کریں: تمام جوڑے (m ، n) کے لئے ، m ^ n کا مطلب GCD (m، n) ہے ، m ^ n کے ساتھ الجھن میں نہیں پڑنا ، جو m کی طاقت ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر (x، y) ایک حل ہے تو ، (x * z ^ 6، y * z ^ 6) بھی تمام زیڈ ٹیر انجر کے لئے ایک حل ہے۔ لہذا آپ کو قدیم حل ، ایک ایسا حل کہلا سکتے ہیں جہاں X y کی طاقت کے 6 یا اس سے زیادہ کی اہم سڑ نہ ہو۔ S = x + y اور D = x - y کو فون کرنا p اور Q تلاش کرنے میں کم ہوجاتا ہے جیسے DS = p ^ 3 اور D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2۔ ایک عنصر 2 کے اندر ، D ^ S = x ^ y۔ c = D ^ S پر کال کریں اور D = ac اور S = bc لکھیں۔ پھر DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 آپ c = u ^ 3 * v ^ 2 * w کو انوکھے طریقے سے لکھ سکتے ہیں جہاں آپ ، v ، w مربع آزاد ہیں سوائے U کے جو آپس میں 4 ہوسکتے ہیں . W اور v کاپی رائٹ ہیں۔ ہمیں ایک * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3 ملتا ہے ، لہذا a * b * v * w ^ 2 ایک مکعب ہے r ^ 3 چونکہ w مربع مفت ہے ، W | r ، بولیں r = z * w تو ایک * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w w 3 جو ایک * b * v = z ^ 3 * w ہے۔ چونکہ w ^ v = 1، w | ab. ایک = m_a * w_a اور b = m_b * w_b w_a * w_b = w کے ساتھ لکھیں۔ آپ m_a * m_b * v = z ^ 3 ، m_a ^ m_b = 1 اور v مربع مفت کے ساتھ اختتام پذیر ہوں گے۔ اس سے m_a اور m_b کی رکاوٹیں پڑتی ہیں ، یعنی 3 k + 1 فارم کے خاکہ کے ساتھ کوئی بنیادی عنصر نہیں ہوتا ہے اسے D (3S ^ 2 + D ^ 2) میں پلگ کرنا = q ^ 2 ہمیں ایک * c * (3 b) ملتا ہے ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 ایک مربع ہے لہذا ایک * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) مربع ہے؛ لیکن ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b۔ لہذا یہ مربع مفت حصہ صرف m_a * u * w_b ہے۔ لہذا ہم چاہتے ہیں کہ m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) ایک مربع بن جائے۔ اے ، بی ، اور ڈبلیو ، جو آپ کو منفرد انداز میں طے کرتا ہے۔ اس کے برعکس



جواب 2:

فارم 2 ^ x * 5 اور 2 ^ x * 3 میں سے دو نمبرز ہمیشہ کام کریں گے اگر x ≡ 1 (Mod 6) ، یعنی ، x = 6k + 1 عددی k کے لئے۔ [2 ^ (6 ک + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6 ک + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18 ک + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18 ک +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18 ک + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9 ک + 2) * 7] ^ 2 اور [2 ^ (6 ک + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6 ک + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12 ک + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12 ک + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12 ک + 6) = [2 ^ (4 ک + 3)] E 3 ایڈیٹ یہ تمام حل فراہم نہیں کرتا ہے۔ 4 ہندسوں میں ایسا لگتا ہے: (7290، 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5، 2 * 3 ^ 7) (8954، 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37، 11 ^ 2 * 47 ) یہ دو اضافی لامحدود "حل والے گھرانوں" کی نمائندگی کرتے ہیں ، یعنی (2 * 3 ^ (6 ک)) 5، 2 * 3 ^ (6 ک + 1)) اور (2 * 11 ^ (6 ک + 2) * 37، 11 ^ (6 ک + 2) * 47) (غیر متوقع!) (اس کے علاوہ ، (10،6) کبھی بھی ذکر نہیں کیا گیا۔ مجھے اس مقام پر ہندسوں کی تعداد کی پرواہ نہیں ہے: میں تمام لازمی حل تلاش کرنا چاہتا ہوں۔ یہ ایک ذیل والے کنبے میں j = k = 0 کی نمائندگی کرتا ہے۔) در حقیقت ، پہلا کنبہ اور دوسرا خاندان واقعتا ایک جیسا ہے: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6 ک)) 5، 2 ^ (6 جے + 1 ) کسی بھی لازمی j ، k ≥ 0 کے لئے * 3 j (6k + 1)) یہ ایک اچھا سخت کام ہے۔ مجھے کچھ آرام کے بعد اس کے بارے میں مزید کچھ سوچنا چاہئے۔ یہ سارے 'کنبے' حقیقت میں زیادہ عام افراد کے ذیلی حصے ہوسکتے ہیں۔ ایڈیٹ 2: (52728 ، 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3، 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2، x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 3 (55566 ، 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3، 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2، x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 یہ آخری دو دلچسپی رکھتے ہیں۔ وہ پہلے ہیں جن کے لئے x = 3y اور x = 2y ہیں۔ (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3، 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) آسانی سے پائے جاتے ہیں، جیسا کہ ایکس = میرا انٹیجر ایم کے لئے ہیں) (70434، 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43، 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2، x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 اگرچہ ان 5 ہندسوں کے جوابات کو پیرامیٹرائزڈ لامحدود حل سیٹوں تک بھی بڑھایا جاسکتا ہے ، لیکن حملے کا کوئی بھی طریقہ یا طریقہ جو جامع حل کا باعث بنتا ہے وہ مجھ سے غیر واضح ہے۔ (غالبا prime بنیادی عوامل کے ضرب کا استعمال 6 یا اعداد کا پی ایڈک آرڈر؟۔) نیز ، آخری جوڑی میں پہلی بار ایس کے ذریعہ یکساں طور پر تقسیم نہیں کیا جاسکتا ہے۔ (میں نے قیاس کرنا شروع کر دیا تھا کہ یہ ہمیشہ رہے گا۔) یہ ان مسائل میں سے صرف ایک مسئلہ ہوسکتا ہے جس کا حل تعمیراتی ضروریات کا باعث نہیں ہوتا جس کی فہرست کے علاوہ کوئی دوسرا فارمولا بھی بیان کرسکتا ہے۔ تاہم ، اس طرح کے نتیجے پر کودنے سے پہلے مزید ڈیٹا پوائنٹس کا تجزیہ کیا جانا چاہئے ، اور تعداد بہت تیزی سے بڑھ رہی ہے۔



جواب 3:

آدمی کام کرنے کے لئے بہت زیادہ متغیر کرتا ہے ، ہمیں کم از کم ایک متغیر کی ضرورت ہوتی ہے