Çözüm yöntemi: "küpleri arasındaki farka sahip 3 basamaklı iki tam sayı bir kare ve vv'dir"?


cevap 1:

Düzenleme: tüm tam sayı çiftleri için (m, n), m ^ n, OBEB (m, n) anlamına gelir, m ^ n ile karıştırılmamalıdır, bu, m üssü n'dir. (X, y) bir çözümse, (x * z ^ 6, y * z ^ 6) 'nın da tüm z tamsayıları için bir çözüm olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla, x ^ y'nin asal ayrıştırmasında 6 veya daha büyük bir kuvveti olmadığı bir çözüm olan ilkel çözüm diyebilirsiniz. S = x + y ve D = x - y'yi çağırmak, problem DS = p ^ 3 ve D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 olacak şekilde p ve q'yı bulmaya indirgenir. 2 faktör içinde, D ^ S = x ^ y. c = D ^ S'yi çağırın ve D = ac ve S = bc yazın. O halde DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 u, v, w'nin kareden arınmış olduğu benzersiz bir şekilde c = u ^ 3 * v ^ 2 * w yazabilirsiniz, u dışında 4'ün çoklu bir hali olabilir . w ve v coprime'dır. A * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3 elde ederiz, dolayısıyla a * b * v * w ^ 2 bir küptür, r ^ 3 diyelim w kare serbest olduğundan, w | r, diyelim ki r = z * w, yani a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3, bu a * b * v = z ^ 3 * w. W ^ v = 1 olduğundan, w | ab. W_a * w_b = w ile a = m_a * w_a ve b = m_b * w_b yazın. M_a * m_b * v = z ^ 3 ile m_a ^ m_b = 1 ve v kare içermeyen m_a * m_b * v = z ^ 3 elde edersiniz. Bu, m_a ve m_b'ye kısıtlamalar koyar, yani üssü 3 k + 1 olan bir asal çarpana sahip olmamak Bunu D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2'ye koyarsak a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 bir karedir, dolayısıyla a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) karedir; Ancak ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. yani kare serbest kısmı sadece m_a * u * w_b'dir. Bu yüzden m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) 'nin kare olmasını istiyoruz. u'yi benzersiz bir şekilde belirleyen a, b ve w verilir. Tersine bir



cevap 2:

2 ^ x * 5 ve 2 ^ x * 3 biçimindeki iki sayı, x ≡ 1 (mod 6) ise her zaman işe yarar, yani tamsayı k için x = 6k + 1. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 VE [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Bu, tüm çözümleri sağlamaz. 4 basamaklı olanlar şöyle görünüyor: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Bunlar iki ek sonsuz "çözüm ailesini" temsil eder, yani (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) ve (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Beklenmedik!) (Ayrıca, (10,6) 'dan hiç bahsedilmedi. Bu noktada basamak sayısı umurumda değil: Tüm integral çözümleri bulmak istiyorum. Bu aşağıdaki ailede j = k = 0'ı temsil eder.) Aslında, birinci aile ve ikinci aile gerçekten aynıdır: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) herhangi bir j, k ≥ 0 integrali için Bu iyi bir zor olanıdır. Biraz dinlendikten sonra bunu biraz daha düşünmeliyim. Bütün bu 'aileler' aslında daha genel olanların alt kümeleri olabilir. DÜZENLEME 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Bunlar son ikisi ilgi çekicidir. Bunlar, x = 3y ve x = 2y için ilk olanlardır. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) kolayca bulunur, x = tam sayı m için olduğu gibi) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Bu 5 basamaklı yanıtlar parametreleştirilmiş sonsuz çözüm kümelerine genişletilebilirken, kapsamlı bir çözüme yol açacak herhangi bir saldırı modeli veya yöntemi benim için belirsizliğini koruyor. (Belki de asal çarpanlar çokluğunun kullanımı mod 6 ya da sayıların p-adik sırasından mı?) Ayrıca, son çifte ilk kez s t ile eşit olarak bölünemez. (Her zaman olacağını varsaymaya başlamıştım.) Bu, çözümü bir listeden başka herhangi bir formülün tanımlayabileceği bir inşa zorunluluğuna yol açmayan sorunlardan sadece biri olabilir. Ancak, böyle bir sonuca varmadan önce daha fazla veri noktası analiz edilmelidir ve sayılar çok hızlı büyüyor.



cevap 3:

adam bu üzerinde çalışmak için çok fazla değişken, en az bir değişkene ihtiyacımız var