วิธีแก้ปัญหา: "จำนวนเต็ม 3 หลักสองตัวที่มีผลต่างระหว่างคิวบ์คือกำลังสองและ vv"?


ตอบ 1:

แก้ไข: สำหรับคู่ของจำนวนเต็ม (m, n), m ^ n หมายถึง GCD (m, n) เพื่อไม่ให้สับสนกับ m ^ n ซึ่งเป็น m กำลัง n สังเกตว่าถ้า (x, y) เป็นคำตอบดังนั้น (x * z ^ 6, y * z ^ 6) ก็เป็นคำตอบสำหรับจำนวนเต็ม z ทั้งหมดเช่นกัน คุณอาจเรียกโซลูชันดั้งเดิมว่าโซลูชันที่ x ^ y ไม่มีกำลัง 6 หรือมากกว่าในการสลายตัวที่สำคัญ การเรียก S = x + y และ D = x - y ปัญหาจะลดลงเป็นการค้นหา p และ q เช่นนั้น DS = p ^ 3 และ D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 ภายในปัจจัย 2 D ^ S = x ^ y เรียก c = D ^ S และเขียน D = ac และ S = bc จากนั้น DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 คุณสามารถเขียน c = u ^ 3 * v ^ 2 * w ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำใครโดยที่ u, v, w เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสว่างยกเว้น u ซึ่งอาจมีค่าเป็น mutliple ของ 4 . w และ v เป็น coprime เราได้รับ a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3 ดังนั้น a * b * v * w ^ 2 คือลูกบาศก์พูดว่า r ^ 3 เนื่องจาก w เป็นกำลังสองฟรี w | r พูดว่า r = z * w ดังนั้น a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 นั่นคือ a * b * v = z ^ 3 * w ตั้งแต่ w ^ v = 1, w | ก. เขียน a = m_a * w_a และ b = m_b * w_b ด้วย w_a * w_b = w คุณลงท้ายด้วย m_a * m_b * v = z ^ 3 โดยมี m_a ^ m_b = 1 และ v กำลังสองว่าง สิ่งนี้ทำให้ข้อ จำกัด ของ m_a และ m_b คือการไม่มีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่มีเลขชี้กำลังของรูปแบบ 3 k + 1 การเสียบสิ่งนี้เข้ากับ D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 เราจะได้รับ a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 เป็นสี่เหลี่ยมดังนั้น a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) เป็นสี่เหลี่ยม แต่ ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b ดังนั้นมันจึงเป็นส่วนที่ไม่มีเหลี่ยมเป็นเพียง m_a * u * w_b เราจึงอยากให้ m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) เป็นกำลังสอง a, b และ w ถูกกำหนดให้ซึ่งกำหนดว่าคุณไม่ซ้ำกัน ในทางกลับกันเริ่มต้นด้วย



ตอบ 2:

ตัวเลขสองตัวของรูปแบบ 2 ^ x * 5 และ 2 ^ x * 3 จะใช้ได้เสมอถ้า x ≡ 1 (mod 6) คือ x = 6k + 1 สำหรับจำนวนเต็ม k [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 และ [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 แก้ไขสิ่งนี้ไม่ได้ให้วิธีแก้ปัญหาทั้งหมด ตัวเลข 4 หลักดูเหมือนจะเป็น: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) สิ่งเหล่านี้แสดงถึง "ตระกูลแห่งการแก้ปัญหา" ที่ไม่สิ้นสุดเพิ่มเติมอีก 2 ตระกูล ได้แก่ (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) และ (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (ไม่คาดคิด!) (ยังไม่เคยพูดถึง (10,6) ฉันไม่สนใจจำนวนหลัก ณ จุดนี้: ฉันต้องการหาวิธีแก้ปัญหาเชิงปริพันธ์ทั้งหมด แทน j = k = 0 ในตระกูลด้านล่าง) อันที่จริงตระกูลแรกและตระกูลที่สองเหมือนกันจริงๆ: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) สำหรับอินทิกรัล j, k ≥ 0 นี่คืออันที่ยากดี ฉันต้องคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้มากขึ้นหลังจากพักผ่อน 'ครอบครัว' ทั้งหมดเหล่านี้อาจเป็นส่วนย่อยของครอบครัวทั่วไป แก้ไข 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 เหล่านี้ สองคนสุดท้ายเป็นที่สนใจ พวกเขาเป็นคนแรกที่ x = 3y และ x = 2y (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) พบได้ง่ายเช่นเดียวกับ x = my สำหรับจำนวนเต็ม m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 ในขณะที่คำตอบ 5 หลักเหล่านี้สามารถขยายไปยังชุดโซลูชันอนันต์ที่กำหนดพารามิเตอร์ได้ แต่รูปแบบหรือวิธีการโจมตีใด ๆ ที่จะนำไปสู่การแก้ปัญหาที่ครอบคลุมยังคงไม่ชัดเจนสำหรับฉัน (บางทีการใช้ประโยชน์จากการคูณของปัจจัยเฉพาะ mod 6 หรือลำดับ p-adic ของตัวเลข?) นอกจากนี้ในคู่สุดท้ายในครั้งแรก s จะหารด้วย t ไม่เท่ากัน (ฉันเริ่มที่จะคาดเดาว่ามันจะเป็นเช่นนั้นเสมอ) นี่อาจเป็นเพียงหนึ่งในปัญหาที่วิธีแก้ปัญหาซึ่งไม่ได้นำไปสู่ความจำเป็นในการก่อสร้างที่สูตรอื่น ๆ นอกเหนือจากรายการสามารถอธิบายได้ อย่างไรก็ตามควรวิเคราะห์จุดข้อมูลเพิ่มเติมก่อนที่จะข้ามไปสู่ข้อสรุปดังกล่าวและตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว



ตอบ 3:

ผู้ชายที่มีตัวแปรมากเกินไปที่จะใช้งานได้เราต้องการตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว