Metóda riešenia: „dve 3-miestne celé čísla s rozdielom medzi kockami sú štvorce a vv“?


Odpoveď 1:

Edit: for all couple of integers (m, n), m ^ n means GCD (m, n), be not be confplet with m ^ n, which is m to the power n. Všimnite si, že ak (x, y) je riešenie, potom (x * z ^ 6, y * z ^ 6) je tiež riešením pre celé číslo z. Môžete teda nazvať primitívne riešenie, riešenie, kde x ^ y nemá v primárnom rozklade silu 6 alebo väčšiu. Výzvou S = x + y a D = x - y sa problém zníži na nájdenie p a q tak, že DS = p ^ 3 a D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. V rámci faktora 2 je D ^ S = x ^ y. zavolajte c = D ^ S a napíšte D = ac a S = bc. Potom DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Môžete napísať c = u ^ 3 * v ^ 2 * w jedinečným spôsobom, kde u, v, w sú štvorcové voľné okrem u, ktoré by mohli byť násobkom 4 w a v sú coprime. Dostaneme a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, takže a * b * v * w ^ 2 je kocka povedzme r ^ 3 Pretože w je štvorec voľný, w | r, povedzme r = z * w, takže a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3, čo je a * b * v = z ^ 3 * w. Pretože w ^ v = 1, w | ab. Napíšte a = m_a * w_a a b = m_b * w_b pomocou w_a * w_b = w. Skončíte s m_a * m_b * v = z ^ 3, s m_a ^ m_b = 1 a v štvorci zadarmo. To kladie obmedzenia na m_a a m_b, konkrétne to, že nemáme žiadny prvočíselný faktor s exponentom tvaru 3 k + 1 Zapojením do D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 dostaneme a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 je štvorec, takže a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) je štvorec; Ale ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. takže štvorcová voľná časť je iba m_a * u * w_b. Takže chceme, aby m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) bol štvorec. a, b a w sú dané, čo určuje u jedinečne. Naopak začnite s



Odpoveď 2:

Dve čísla tvaru 2 ^ x * 5 a 2 ^ x * 3 budú vždy fungovať, ak x ≡ 1 (mod 6), tj. X = 6k + 1 pre celé číslo k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 A [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Toto neposkytuje všetky riešenia. Zdá sa, že 4-miestne čísla sú: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Predstavujú dve ďalšie nekonečné „rodiny riešení“, a to (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) a (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Neočakávané!) (Tiež (10,6) nikdy nebolo spomenuté. Nezáleží mi na počte číslic v tomto okamihu: chcel by som nájsť všetky integrálne riešenia. Toto jedno predstavuje j = k = 0 v rodine uvedenej nižšie.) V skutočnosti sú prvá rodina a druhá rodina skutočne rovnaké: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) pre akýkoľvek integrál j, k ≥ 0 Toto je dobrý tvrdý. Po určitom odpočinku na to musím ešte trochu myslieť. Všetky tieto „rodiny“ môžu byť v skutočnosti podmnožinami všeobecnejších skupín. ÚPRAVA 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 tieto posledné dva sú zaujímavé. Sú prvé, pre ktoré x = 3y a x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) sa dá ľahko nájsť, rovnako ako x = my pre celé číslo m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Zatiaľ čo tieto 5-miestne odpovede je možné rozšíriť aj na parametrizované nekonečné množiny riešení, akýkoľvek vzor alebo metóda útoku, ktorá by viedla ku komplexnému riešeniu, pre mňa zostáva nejasná. (Možno využitie multiplicity prvočíselných faktorov mod 6 alebo p-adické poradie čísel?). Tiež v poslednej dvojici nie je s prvýkrát rovnomerne deliteľné t. (Začal som predpokladať, že to tak vždy bude.) Môže to byť len jeden z problémov, ktorých riešenie nevedie k konštrukčnej nevyhnutnosti, ktorú by mohol opísať akýkoľvek iný vzorec ako zoznam. Pred prechodom na takýto záver by sa však malo analyzovať viac dátových bodov a čísla sa veľmi rýchlo zväčšujú.



Odpoveď 3:

ak je príliš veľa premenných na prácu, potrebujeme aspoň jednu premennú