Kaedah penyelesaian untuk: "dua bilangan bulat 3 digit dengan perbezaan antara kubus mereka adalah segi empat sama, dan vv"?


Jawapan 1:

Edit: untuk semua pasangan bilangan bulat (m, n), m ^ n bermaksud GCD (m, n), tidak boleh dikelirukan dengan m ^ n, yang merupakan kekuatan n. Perhatikan bahawa jika (x, y) adalah penyelesaian, maka (x * z ^ 6, y * z ^ 6) juga merupakan penyelesaian untuk semua z integer. Oleh itu, anda mungkin memanggil penyelesaian primitif, penyelesaian di mana x ^ y tidak mempunyai daya 6 atau lebih besar dalam penguraian utamanya. Memanggil S = x + y dan D = x - y masalah menjadi semakin kecil untuk mencari p dan q sehingga DS = p ^ 3 dan D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Dalam faktor 2, D ^ S = x ^ y. panggil c = D ^ S dan tulis D = ac dan S = bc. Kemudian DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Anda boleh menulis c = u ^ 3 * v ^ 2 * w dengan cara yang unik di mana u, v, w bebas persegi kecuali u yang boleh menjadi mutlip 4 w dan v adalah coprime. Kami mendapat * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, jadi a * b * v * w ^ 2 adalah kubus katakan r ^ 3 Oleh kerana w bebas persegi, w | r, katakan r = z * w jadi a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 yang merupakan * b * v = z ^ 3 * w. Oleh kerana w ^ v = 1, w | ab. Tulis a = m_a * w_a dan b = m_b * w_b dengan w_a * w_b = w. Anda berakhir dengan m_a * m_b * v = z ^ 3, dengan m_a ^ m_b = 1 dan v persegi percuma. Ini meletakkan kekangan pada m_a dan m_b, iaitu tidak mempunyai faktor utama dengan eksponen bentuk 3 k + 1 Memasukkannya ke D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 kita mendapat * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 ialah segi empat jadi a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) adalah segi empat sama; Tetapi ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. jadi bahagian bebas persegi hanya m_a * u * w_b. Oleh itu, kami mahu m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) menjadi segi empat sama. a, b, dan diberi, yang menentukan anda secara unik. Sebaliknya mulakan dengan



Jawapan 2:

Dua nombor bentuk 2 ^ x * 5 dan 2 ^ x * 3 akan selalu berfungsi jika x ≡ 1 (mod 6), iaitu, x = 6k + 1 untuk bilangan bulat k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 DAN [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Ini tidak memberikan semua penyelesaian. 4 digit itu adalah: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Ini mewakili dua "keluarga penyelesaian" yang tidak terhingga, iaitu (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) dan (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Tidak dijangka!) (Juga, (10,6) tidak pernah disebutkan. Saya tidak peduli dengan jumlah digit pada ketika ini: Saya ingin mencari semua penyelesaian yang tidak terpisahkan. Yang ini mewakili j = k = 0 dalam keluarga di bawah.) Sebenarnya, keluarga pertama dan keluarga kedua benar-benar sama: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) untuk sebarang integral j, k ≥ 0 Ini adalah yang sukar. Saya mesti memikirkannya lagi setelah berehat. Semua 'keluarga' ini sebenarnya mungkin merupakan kumpulan yang lebih umum. EDIT 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - Y ^ 3 = 11881376 ^ 2, X ^ 2 - Y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - Y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - Y ^ 2 = 1323 ^ 3 Ini dua yang terakhir menarik. Mereka adalah yang pertama yang x = 3y dan x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) mudah dijumpai, begitu juga x = my untuk bilangan bulat m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - Y ^ 3 = 9107748 ^ 2, X ^ 2 - Y ^ 2 = 936 ^ 3 Walaupun jawapan 5 digit ini juga dapat diperluas ke set penyelesaian tak terbatas parameter, setiap corak atau kaedah serangan yang akan membawa kepada penyelesaian yang komprehensif tetap tidak jelas bagi saya. (Mungkin penggunaan darab faktor perdana mod 6 atau urutan nombor p-adic ?.) Juga, pada pasangan terakhir, untuk pertama kalinya s tidak dapat dibahagi secara merata dengan t. (Saya sudah mulai menduga akan selalu terjadi.) Ini mungkin salah satu masalah yang penyelesaiannya tidak membawa kepada keperluan pembinaan yang dapat digambarkan oleh formula selain senarai. Walau bagaimanapun, lebih banyak titik data harus dianalisis sebelum membuat kesimpulan seperti itu, dan jumlahnya bertambah cepat.



Jawapan 3:

lelaki yang terlalu banyak pemboleh ubah untuk digunakan, kita memerlukan sekurang-kurangnya satu pemboleh ubah