ऊत्तराची पद्धतः "चौकोनी तुकड्यांच्या फरकांसह दोन तीन-अंकी पूर्णांक एक वर्ग आणि vv आहे"?


उत्तर 1:

संपादित करा: सर्व दोन पूर्णांकांसाठी (एम, एन), एम ^ एन म्हणजे जीसीडी (एम, एन), एम with एन सह गोंधळात टाकू नये, जे मीटर एन एन आहे. लक्षात घ्या की जर (x, y) हा एक उपाय असेल तर (x * z ^ 6, y * z ^ 6) हे सर्व z पूर्णांकाचे समाधान आहे. म्हणून आपण कदाचित आदिम सोल्यूशन, असा उपाय म्हणू शकता जिथे x ^ y च्या मुख्य अपघटनात 6 किंवा त्यापेक्षा जास्त शक्ती नसते. एस = एक्स + य आणि डी = एक्स - वाईला कॉल करणे डी एस = पी ^ 3 आणि डी (3 एस ^ 2 + डी ^ 2) = क्यू ^ 2 असे पी आणि क्यू शोधण्यात समस्या कमी करते. घटक 2 मध्ये, डी ^ एस = एक्स ^ वाय. सी = डी ^ एस कॉल करा आणि डी = एसी आणि एस = बीसी लिहा. तर डीएस = अ * बी * सी ^ २ = पी ^ You आपण सी = यू ^ * * वी ^ २ * डब्ल्यू लिहू शकता जेथे यू, व्ही, ड स्क्वेअर फ्री आहे ज्याशिवाय यू l चा एक भाग असू शकेल . डब्ल्यू आणि व्ही कॉपीराइम आहेत. आम्हाला एक * बी * यू ^ 6 * वी ^ 4 * डब्ल्यू ^ 2 = पी ^ 3 मिळतो, म्हणून एक * बी * व् * डब्ल्यू ^ 2 हा एक घन आहे r ^ 3 असल्याने डब्ल्यू स्क्वेअर फ्री आहे, डब्ल्यू | r, म्हणा r = z * w म्हणून अ * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * डब्ल्यू ^ 3 ते एक * b * v = z ^ 3 * डब्ल्यू. डब्ल्यू ^ v = 1 असल्याने, डब्ल्यू अब्राहम डब्ल्यू_ए * डब्ल्यू_बी = डब्ल्यूसह एक = एम_ए * डब्ल्यू_ए आणि बी = एम_बी * डब्ल्यू_बी लिहा. आपण m_a * m_b * v = z ^ 3, m_a ^ m_b = 1 आणि v स्क्वेअर फ्रीसह समाप्त करा. हे एम_ए आणि एम_बी वर मर्यादा आणते, बहुधा कोणताही फॉर्म घटक नसलेला मूलभूत घटक 3 के + 1 हे डी मध्ये प्लग करणे (3 एस ^ 2 + डी ^ 2) = क्यू 2 2 आपल्याला एक * सी * (3 बी) मिळते ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = क्यू ^ 2 एक चौरस आहे म्हणून * सी * (3 बी ^ 2 + ए ^ 2) चौरस आहे; परंतु एसी = एम_ए * डब्ल्यू_ए * यू ^ 3 * व्ही ^ 2 * डब्ल्यू_ए * डब्ल्यू_बी. तर हा वर्ग मुक्त भाग फक्त m_a * u * w_b आहे. म्हणून आम्हाला m_a * u * w_b (3 बी ^ 2 + अ ^ 2) एक चौरस पाहिजे. अ, बी, आणि ड दिले जात आहे जे आपल्याला विशिष्टपणे निर्धारित करते. उलट << कॉप्रिमेसह प्रारंभ करा. एम = ए आणि एम_बीसह एक = एम_ए * डब्ल्यू_ए आणि बी = एम_बी * डब्ल्यू_बी = बी सेट करा ज्यामध्ये k के + १ आणि डब्ल्यू_ए आणि डब्ल्यू_बी स्क्वेअर मुक्त असलेल्या फॉर्मचा मुख्य घटक नसतो. हे नेहमी केले जाऊ शकते. मग एखादा v स्क्वेअर फ्री निवडू शकतो जेणेकरुन m_a * m_b * v एक घन असेल. एखादी व्यक्ती आपला वर्ग मुक्त देखील निवडू शकते जेणेकरुन m_a * u * w_b (3 बी ^ 2 + अ ^ 2) एक चौरस असेल. नंतर आपण c = u ^ 3 * v ^ 2 * डब्ल्यू सेट केले. जर एसी आणि बीसी मध्ये समान पॅरिटि गुणाकार c न असेल तर 2 ^ 6 ने वाढवा. शेवटी x = c * (a + b) / 2 आणि y = c * (बा) / 2 सेट करा. हे आपल्याला सर्व आदिम समाधाना देते. तथापि ते वाढत्या क्रमवारीत कसे मिळवायचे ते सांगत नाही प्रथम बी बी 2, अ = 1 नंतर एम_ए = 1, एम_बी = 1, डब्लू_ए = 1, डब्ल्यू_बी = डब्ल्यू = 2. वी = 1, 3 बी ^ 2 + ए ^ 2 = 13, u = w_b * (3 बी ^ 2 + अ ^ 2) = 26, सी = (26 26 3) * 2 = 35152. तर एसी = 35152 आणि बीसी = 70304, एक्स = 17576, वाय = 52728. तर बी = 3, अ = 1 नंतर एम_ए = 1, एम_बी = 1, डब्लू_ए = 1, डब्ल्यू_बी = डब्ल्यू = v वी = १, b बी ^ २ + अ ^ २ = २,, यू = डब्लू_बी * = = २१, सी = (२१ ^)) * = = २787833. तर एसी = २7878783 आणि बीसी = 34 833434,, एक्स = २787833, वाय = 5 5556666. नंतर बी =,, अ = २, नंतर एम_ए = १, एम_बी = १, डब्लू_ए = २, डब्ल्यू_बी =,, डब्ल्यू = v व् = १, b बी ^ २ + अ ^ २ = ,१, यू = *१ * = =,, सी = (^ ^ ^)) * = = 26 48२14१2२ एसी = 656565२848484, सीबी = १447844२,, एक्स = 2413071, y = 5x = 12065355 बी = 4 सह, अ = 1 आम्ही एम_बी = 4, ए = एम_ए = 1, डब्ल्यू = डब्ल्यू_ए = डब्ल्यू_बी = 1 व्ही 2, 3 बी ^ 2 + ए ^ 2 = 3 * 16 + सेट करतो 1 = 7 ^ 2. तर u = 1. तर c = u ^ 3v ^ 2 डब्लू = 4, एस = बी * सी = 16, डी = ए * सी = 4 शेवटी आपल्याला एक्स = 10 आणि y = 6. आणि असेच मिळेल.



उत्तर 2:

X ≡ 1 (मोड 6), म्हणजेच पूर्णांक केसाठी x = 6 के + 1 असल्यास फॉर्म 2 ^ x * 5 आणि 2 ^ x * 3 मधील दोन संख्या नेहमी कार्य करतील. [2 ^ (6 के + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6 के + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18 के + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18 के +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18 के + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9 के + 2) * 7] ^ 2 आणि [2 ^ (6 के + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6 के + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12 के + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12 के + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12 के + 6) = [२ ^ (k के +))] E 3 संपादन हे सर्व निराकरणे प्रदान करीत नाही. 4-अंकांसारखे दिसते: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) हे (2 * 3 ^ (6 के)) * 5, 2 * 3 ^ (6 के + 1)) आणि (2 * 11 ^ (6 के + 2) * 37, 11 two असे दोन अतिरिक्त असीम "समाधानाची कुटुंबे" चे प्रतिनिधित्व करतात. (K के + २) *) 47) (अनपेक्षित!) (तसेच, (१०,6) कधीच उल्लेख केलेला नाही. मला या आकडे असलेल्या संख्येची काळजी नाही: मला सर्व अविभाज्य निराकरणे शोधणे आवडेल. हे एक खालील कुटुंबात j = के = 0 दर्शवते.) खरं तर, प्रथम कुटुंब आणि द्वितीय कुटुंब खरोखर एकसारखे आहे: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6 के)) 5, 2 ^ (6j + 1 ) * ^ ^ (+ के + १)) कोणत्याही अविभाज्य जे, के ≥ 0 साठी हे चांगले कठीण आहे. मी थोडा विश्रांती घेतल्यानंतर याबद्दल अधिक विचार केला पाहिजे. ही सर्व 'कुटूंबियां' खरं तर बहुधा सर्वसाधारण (न) चे उपसमूह असू शकतात. संपादन 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - वाई ^ 3 = 11881376 ^ 2, एक्स ^ 2 - वाई ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - वाय ^ 3 = 12252303 ^ 2, एक्स ^ 2 - वाय ^ 2 = 1323 ^ 3 हे शेवटचे दोन आवडीचे आहेत. ते पहिले आहेत ज्यासाठी x = 3y आणि x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) सहज सापडतात, x = माझा पूर्णांक मीटरसाठी) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 6 6^ ^ digit ही--अंकी उत्तरे देखील पॅरामीटराइझ्ड अनंत सोल्यूशन सेट्सपर्यंत वाढविली जाऊ शकतात, परंतु कोणताही उपाय किंवा हल्ल्याची पद्धत ज्यामुळे सर्वसमावेशक निराकरण होऊ शकते ते माझ्यासाठी अस्पष्ट राहिले. (कदाचित प्राइम फॅक्टरच्या बहुगुणिततेचा वापर 6 किंवा संख्यांचा पी-अ‍ॅडिक क्रम ?.) तसेच, शेवटच्या जोडीमध्ये प्रथमच s ने समान रीतीने विभाजित देखील होऊ शकत नाही. (मी नेहमीच असा अंदाज लागायला सुरुवात केली होती.) ही त्या समस्यांपैकी एक असू शकेल ज्याच्या समाधानाने एखाद्या बांधकामाची गरज नसते ज्याच्या यादीशिवाय इतर कोणतेही सूत्र वर्णन करू शकत नाही. तथापि, अशा निष्कर्षावर जाण्यापूर्वी अधिक डेटा पॉइंट्सचे विश्लेषण केले पाहिजे आणि ही संख्या खूप वेगवान होत आहे.



उत्तर 3:

मनुष्य कार्य करण्यासाठी बरेच व्हेरिएबल्स वापरतो, आपल्याला किमान एक व्हेरिएबल पाहिजे