Risinājuma metode: "divi trīsciparu veseli skaitļi ar starpību starp to kubiem ir kvadrāts un vv"?


Atbilde 1:

Rediģēt: visiem veseliem skaitļiem (m, n) m ^ n nozīmē GCD (m, n), nejaukt ar m ^ n, kas ir m līdz jaudai n. Ievērojiet, ka, ja (x, y) ir risinājums, tad (x * z ^ 6, y * z ^ 6) ir arī risinājums visiem z veselajiem skaitļiem. Tātad jūs varētu nosaukt primitīvu risinājumu - tādu risinājumu, kur x ^ y galvenā sadalīšanās spēks nav 6 vai lielāks. Zvanot uz S = x + y un D = x - y, problēma samazina p un q atrašanu tā, ka DS = p ^ 3 un D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Faktora 2 ietvaros D ^ S = x ^ y. izsauciet c = D ^ S un uzrakstiet D = ac un S = bc. Tad DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Varat rakstīt c = u ^ 3 * v ^ 2 * w unikālā veidā, kur u, v, w ir bez kvadrāta, izņemot u, kas varētu būt 4 w un v ir koprime. Mēs iegūstam a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, tāpēc a * b * v * w ^ 2 ir kubs, sakot r ^ 3. Tā kā w nav kvadrāta, tad w | r, sakiet r = z * w, tāpēc a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3, kas ir a * b * v = z ^ 3 * w. Tā kā w ^ v = 1, w | ab. Uzrakstiet a = m_a * w_a un b = m_b * w_b ar w_a * w_b = w. Jūs beidzat ar m_a * m_b * v = z ^ 3, ar m_a ^ m_b = 1 un v bez kvadrāta. Tas uzliek ierobežojumus m_a un m_b, proti, tam, ka nav formāta 3 k + 1 pamatfaktora, pievienojot to D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2, mēs iegūstam ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 ir kvadrāts, tāpēc a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) ir kvadrāts; Bet ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. tātad kvadrātveida brīvā daļa ir tikai m_a * u * w_b. Tāpēc mēs vēlamies, lai m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) būtu kvadrāts. a, b un w tiek dota, kas nosaka u unikāli. Un otrādi sāciet ar



Atbilde 2:

Divi formas 2 ^ x * 5 un 2 ^ x * 3 skaitļi vienmēr darbosies, ja x ≡ 1 (mod 6), ti, x = 6k + 1 veselam skaitlim k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 UN [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 REDIĢĒT Tas nenodrošina visus risinājumus. Šķiet, ka četrciparu skaitļi ir šādi: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Tie apzīmē vēl divas bezgalīgas "risinājumu saimes", proti, (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) un (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Negaidīti!) (Arī (10,6) nekad netika pieminēts. Man vienalga par ciparu skaitu šajā brīdī: es gribētu atrast visus neatņemamos risinājumus. Šis apzīmē j = k = 0 zemāk esošajā ģimenē.) Faktiski pirmā un otrā ģimene ir patiešām vienādas: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) jebkuram integrālim j, k ≥ 0 Tas ir labs grūts. Man par to jāpadomā vēl pēc nelielas atpūtas. Visas šīs “ģimenes” faktiski varētu būt vispārīgākas (-u) apakškopas. 2. rediģēt: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Šie pēdējie divi ir interesanti. Tie ir pirmie, kuriem x = 3y un ​​x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) ir viegli atrodams, tāpat kā x = my veselam skaitlim m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Lai arī šīs piecciparu atbildes var attiecināt arī uz parametrizētām bezgalīgu risinājumu kopām, man joprojām nav skaidrs jebkurš uzbrukuma modelis vai metode, kas novestu pie visaptveroša risinājuma. (Varbūt galveno faktoru mod 6 daudzuma vai skaitļu p-adiciskās secības izmantošana?). Arī pēdējā pārī s pirmo reizi s nav vienmērīgi dalāms ar t. (Es biju sācis minēt, ka tā tas vienmēr būs.) Šī var būt tikai viena no tām problēmām, kuras risinājums nerada nepieciešamību pēc konstrukcijas, ko varētu aprakstīt jebkura cita formula, izņemot sarakstu. Tomēr, pirms nonākt pie šāda secinājuma, būtu jāanalizē vairāk datu punktu, un skaitļi ļoti ātri kļūst lieli.



Atbilde 3:

cilvēkam ir pārāk daudz mainīgo, ar kuriem strādāt, mums ir nepieciešams vismaz viens mainīgais