שיטת הפתרון ל: "שני מספרים שלמים בני 3 ספרות עם ההפרש בין הקוביות שלהם הוא ריבוע ו- vv"?


תשובה 1:

עריכה: עבור כל מספר המספרים השלמים (m, n), m ^ n פירושו GCD (m, n), שאין להתבלבל עם m ^ n, שהוא m לחזק n. שימו לב שאם (x, y) הוא פיתרון, אז (x * z ^ 6, y * z ^ 6) הוא גם פיתרון לכל z שלם. אז אפשר לקרוא לפיתרון פרימיטיבי, פתרון שבו ל- x ^ y אין כוח 6 ומעלה בפירוק הראשוני שלו. קריאה ל- S = x + y ו- D = x - y הבעיות מצטמצמות למציאת p ו- q כך ש- DS = p ^ 3 ו- D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. בתוך גורם 2, D ^ S = x ^ y. התקשר c = D ^ S וכתוב D = ac ו- S = bc. ואז DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 אתה יכול לכתוב c = u ^ 3 * v ^ 2 * w באופן ייחודי שבו u, v, w הם חופשיים מרובעים למעט u שיכול להיות ריבוי של 4 w ו- v הם פשע. אנחנו מקבלים a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, אז a * b * v * w ^ 2 הוא קוביה נגיד r ^ 3 מכיוון ש- w הוא חופשי בריבוע, w | r, אמור r = z * w אז a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 כלומר * b * v = z ^ 3 * w. מכיוון ש w ^ v = 1, w | ab. כתוב a = m_a * w_a ו- b = m_b * w_b עם w_a * w_b = w. בסופו של דבר אתה עם m_a * m_b * v = z ^ 3, עם m_a ^ m_b = 1 ו- v בריבוע חופשי. זה מציב אילוצים על m_a ו- m_b, כלומר אין להם שום גורם ראשוני עם מערך הצורה 3 k + 1 חיבור זה ל- D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 נקבל * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 הוא ריבוע כך ש * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) הוא ריבוע; אבל ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. אז החלק החופשי בריבוע הוא רק m_a * u * w_b. אז אנחנו רוצים ש- m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) יהיה ריבוע. a, b ו- w ניתנים, זה קובע u באופן ייחודי. לעומת זאת התחל עם



תשובה 2:

שני מספרים של הטופס 2 ^ x * 5 ו- 2 ^ x * 3 תמיד יעבדו אם x ≡ 1 (mod 6), כלומר, x = 6k + 1 עבור מספר שלם k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 AND [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT זה לא מספק את כל הפתרונות. נראה כי ארבע הספרות הן: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) אלה מייצגים שתי "משפחות פתרונות" אינסופיות נוספות, כלומר (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) ו- (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (לא צפוי!) (כמו כן, (10,6) מעולם לא הוזכר. לא אכפת לי ממספר הספרות בנקודה זו: הייתי רוצה למצוא את כל הפתרונות האינטגרליים. מייצג j = k = 0 במשפחה למטה.) למעשה, המשפחה הראשונה והמשפחה השנייה הם ממש זהים: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) לכל אינטגרל j, k ≥ 0 זה קשה קשה. אני חייב לחשוב על זה עוד קצת אחרי מנוחה. כל 'המשפחות' הללו עשויות למעשה להיות קבוצות משנה של קבוצות כלליות יותר. עריכה 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 אלה שני האחרונים מעניינים. הם הראשונים שעבורם x = 3y ו- x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) נמצא בקלות, כמו גם x = my עבור מספר שלם m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 אמנם ניתן להרחיב את התשובות הללו בת 5 ספרות לסטים של פתרונות אינסופיים פרמטרים, אך כל דפוס או שיטת התקפה שיובילו לפיתרון מקיף נותרו לי לא ברורים. (אולי ניצול ריבוי הגורמים העיקריים mod 6 או הסדר p-adic של המספרים?). כמו כן, בזוג האחרון, לראשונה s אינו מתחלק באופן שווה ב- t. (התחלתי לשער שזה תמיד יהיה.) יתכן וזו רק אחת מאותן בעיות שפתרונן אינו מוביל לצורך בנייה שכל נוסחה אחרת מלבד רשימה תוכל לתאר. עם זאת, יש לנתח נקודות נתונים נוספות לפני שתקפוץ למסקנה כזו, והמספרים נהיים גדולים מאוד.



תשובה 3:

אדם זה יותר מדי משתנים לעבוד איתם, אנחנו צריכים לפחות משתנה אחד