Metode solusi untuk: "dua bilangan bulat 3-digit dengan selisih antara kubusnya adalah persegi, dan vv"?


Jawaban 1:

Edit: untuk semua pasangan bilangan bulat (m, n), m ^ n berarti PBT (m, n), jangan bingung dengan m ^ n, yang m pangkat n. Perhatikan bahwa jika (x, y) adalah solusi, maka (x * z ^ 6, y * z ^ 6) juga merupakan solusi untuk semua bilangan bulat z. Jadi Anda bisa menyebut solusi primitif, solusi di mana x ^ y tidak memiliki kekuatan 6 atau lebih besar dalam dekomposisi prima. Memanggil S = x + y dan D = x - y soalnya berkurang menjadi p dan q sehingga DS = p ^ 3 dan D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Dalam faktor 2, D ^ S = x ^ y. panggil c = D ^ S dan tulis D = ac dan S = bc. Kemudian DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Anda dapat menulis c = u ^ 3 * v ^ 2 * w dengan cara yang unik di mana u, v, w bebas persegi kecuali u yang bisa berupa kelipatan 4 .w dan v adalah coprime. Kita mendapatkan a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, jadi a * b * v * w ^ 2 adalah kubus katakanlah r ^ 3 Karena w bebas kuadrat, w | r, katakan r = z * w jadi a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 yaitu a * b * v = z ^ 3 * w. Karena w ^ v = 1, w | ab. Tulis a = m_a * w_a dan b = m_b * w_b dengan w_a * w_b = w. Anda akan mendapatkan m_a * m_b * v = z ^ 3, dengan m_a ^ m_b = 1 dan v persegi kosong. Ini menempatkan batasan pada m_a dan m_b, yaitu tidak memiliki faktor prima dengan eksponen bentuk 3 k + 1 Masukkan ini ke D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 kita mendapatkan * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 adalah persegi jadi a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) adalah persegi; Tapi ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. jadi bagian bebas persegi hanya m_a * u * w_b. Jadi kami ingin m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) menjadi persegi. a, b, dan w diberikan, yang menentukan u secara unik. Sebaliknya, mulailah dengan



Jawaban 2:

Dua bilangan berbentuk 2 ^ x * 5 dan 2 ^ x * 3 akan selalu berfungsi jika x ≡ 1 (mod 6), yaitu x = 6k + 1 untuk integer k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 DAN [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Ini tidak memberikan semua solusi. Yang 4 digit sepertinya: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Ini mewakili dua "kelompok solusi" tak terbatas tambahan, yaitu (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) dan (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Tidak terduga!) (Juga, (10,6) tidak pernah disebutkan. Saya tidak peduli dengan jumlah digit pada saat ini: Saya ingin mencari semua solusi integral. Yang ini mewakili j = k = 0 dalam keluarga di bawah.) Faktanya, keluarga pertama dan keluarga kedua benar-benar sama: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) untuk sembarang integral j, k ≥ 0 Ini bagus dan sulit. Aku harus memikirkannya lagi setelah istirahat. Semua 'keluarga' ini mungkin sebenarnya merupakan subset dari yang lebih umum. EDIT 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Ini dua yang terakhir menarik. Mereka adalah yang pertama yang x = 3y dan x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) mudah ditemukan, seperti halnya x = my untuk integer m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Sementara jawaban 5-digit ini juga dapat diperluas ke kumpulan solusi tak terbatas berparameter, pola atau metode serangan apa pun yang akan mengarah pada solusi komprehensif tetap tidak jelas bagi saya. (Mungkin pemanfaatan multiplisitas faktor prima mod 6 atau urutan p-adic bilangan ?.) Juga, pada pasangan terakhir, untuk pertama kalinya s tidak habis habis dibagi t. (Saya mulai menduga bahwa akan selalu demikian.) Ini mungkin hanya salah satu masalah yang solusinya tidak mengarah pada kebutuhan konstruksi yang dapat dijelaskan oleh rumus lain selain daftar. Namun, lebih banyak poin data harus dianalisis sebelum melompat ke kesimpulan seperti itu, dan jumlahnya menjadi besar dengan sangat cepat.



Jawaban 3:

man itu terlalu banyak variabel untuk dikerjakan, kita membutuhkan setidaknya satu variabel