روش راه حل برای: "دو عدد صحیح 3 رقمی با تفاوت مکعب های آنها یک مربع است و vv"؟


پاسخ 1:

ویرایش: برای همه چند عدد صحیح (m، n) ، m ^ n به معنای GCD (m ، n) است ، و نباید با m ^ n ، که m به قدرت n است اشتباه گرفته شود. توجه داشته باشید که اگر (x، y) یک راه حل است ، پس (x * z ^ 6 ، y * z ^ 6) نیز برای تمام z عدد صحیح یک راه حل است. بنابراین ممکن است شما راه حل ابتدایی را بنامید ، یک راه حل که x ^ y در تجزیه اصلی خود قدرت 6 یا بیشتر نداشته باشد. تماس S = x + y و D = x - y مشکل به یافتن p و q کاهش می یابد به طوری که DS = p ^ 3 و D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. در یک عامل 2 ، D ^ S = x ^ y. با c = D ^ S تماس بگیرید و D = ac و S = bc را بنویسید. سپس DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 می توانید c = u ^ 3 * v ^ 2 * w را به روشی منحصر به فرد بنویسید که در آن u ، v ، w مربع آزاد نیست به جز تو که می تواند متلاشی از 4 باشد w و v مجرمانه هستند. ما یک * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3 بدست می آوریم ، بنابراین a * b * v * w ^ 2 مکعبی است گفت r ^ 3 از آنجا که w مربع آزاد است ، w | r ، بگویید r = z * w بنابراین a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 یعنی * b * v = z ^ 3 * w. از آنجا که w ^ v = 1 ، w | آب a = m_a * w_a و b = m_b * w_b را با w_a * w_b = w بنویسید. شما در نهایت با m_a * m_b * v = z ^ 3 ، با m_a ^ m_b = 1 و v مربع آزاد خواهید داشت. این محدودیت هایی را برای m_a و m_b ایجاد می کند ، یعنی هیچ فاکتور اصلی با بیان فرم 3 k + 1 ندارد. این را به D (3S ^ 2 + D ^ 2) وصل کنید = q ^ 2 یک * c * دریافت می کنیم (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 مربع است بنابراین a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) مربع است. اما ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. بنابراین قسمت مربع آزاد آن فقط m_a * u * w_b است. بنابراین می خواهیم m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) مربع باشد. a ، b و w داده می شود ، که شما را منحصر به فرد تعیین می کند. و برعکس با یک تقلب



پاسخ 2:

دو عدد از شکل 2 ^ x * 5 و 2 ^ x * 3 همیشه کار خواهند کرد اگر x ≡ 1 (mod 6) ، یعنی x = 6k + 1 برای عدد k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 و [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 ویرایش این همه راه حل ها را ارائه نمی دهد. به نظر می رسد 4 رقمی باشد: (7290، 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5، 2 * 3 ^ 7) (8954، 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37، 11 ^ 2 * 47 ) اینها نشان دهنده دو "خانواده راه حل" نامحدود اضافی است ، یعنی (2 * 3 ^ (6k) * 5 ، 2 * 3 ^ (6k + 1)) و (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37 ، 11 ^ (6k + 2) * 47) (غیر منتظره!) (همچنین ، (10،6) هرگز ذکر نشده است. من در این مرحله به تعداد ارقام اهمیتی نمی دهم: من می خواهم همه راه حل های انتگرال را پیدا کنم. این یکی j = k = 0 را در خانواده زیر نشان می دهد.) در حقیقت ، خانواده اول و خانواده دوم واقعاً یکسان هستند: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5، 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) برای هر انتگرال j ، k ≥ 0 این یک روش خوب است. من باید بعد از کمی استراحت ، کمی بیشتر به آن فکر کنم. همه این "خانواده ها" ممکن است در واقع زیر مجموعه های عمومی تری باشند. ویرایش 2: (52728 ، 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3 ، 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2 ، x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566 ، 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3 ، 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2 ، x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 اینها دو مورد آخر مورد توجه است. آنها اولین کسانی هستند که x = 3y و x = 2y برای آنها است. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3، 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) به آسانی یافت می شود ، x = my برای عدد صحیح m) (70434 ، 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43 ، 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2 ، x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 در حالی که این پاسخ های 5 رقمی را می توان به مجموعه های راه حل بی نهایت پارامتر شده نیز گسترش داد ، اما هر الگوی یا روش حمله ای که منجر به یک راه حل جامع شود برای من نامشخص است. (شاید استفاده از تعدد فاکتورهای اول mod 6 یا ترتیب p-adic اعداد ؟.) همچنین ، در جفت آخر ، برای اولین بار s به طور مساوی بر t قابل تقسیم نیست. (من حدس می زدم که همیشه همینطور خواهد بود.) این ممکن است فقط یکی از مشکلاتی باشد که حل آن منجر به ضرورت ساختاری نمی شود که فرمولی غیر از لیست می تواند توصیف کند. با این حال ، قبل از نتیجه گیری ، باید داده های بیشتری تجزیه و تحلیل شود و اعداد خیلی سریع بزرگ می شوند.



پاسخ 3:

متغیرهای زیادی برای کار با ما هستند ، ما حداقل به یک متغیر نیاز داریم