Método de solución para: "dos números enteros de 3 dígitos con la diferencia entre sus cubos es un cuadrado y vv"?


Respuesta 1:

Editar: para todos los pares de enteros (m, n), m ^ n significa GCD (m, n), que no debe confundirse con m ^ n, que es m elevado a n. Observe que si (x, y) es una solución, entonces (x * z ^ 6, y * z ^ 6) también es una solución para todo z entero. Así que podría llamar solución primitiva, una solución donde x ^ y no tiene potencia 6 o mayor en su descomposición prima. Llamar a S = x + y y D = x - y el problema se reduce a encontrar pyq tales que DS = p ^ 3 y D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Dentro de un factor 2, D ^ S = x ^ y. llame c = D ^ S y escriba D = ac y S = bc. Entonces DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Puede escribir c = u ^ 3 * v ^ 2 * w de una manera única donde u, v, w son cuadrados libres excepto u que podría ser un múltiplo de 4 .wyv son coprimos. Obtenemos a * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, entonces a * b * v * w ^ 2 es un cubo, digamos r ^ 3 Como w es cuadrado libre, w | r, digamos que r = z * w entonces a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 que es a * b * v = z ^ 3 * w. Dado que w ^ v = 1, w | ab. Escriba a = m_a * w_a y b = m_b * w_b con w_a * w_b = w. Terminas con m_a * m_b * v = z ^ 3, con m_a ^ m_b = 1 y v cuadrado libre. Esto impone restricciones a m_a y m_b, es decir, no tener ningún factor primo con exponente de la forma 3 k + 1.Conectando esto en D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 obtenemos a * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 es un cuadrado, entonces a * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) es cuadrado; Pero ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. por lo que su parte libre cuadrada es solo m_a * u * w_b. Entonces queremos que m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) sea un cuadrado. dados a, byw, que determina u de forma única. A la inversa, comience con a



Respuesta 2:

Dos números de la forma 2 ^ x * 5 y 2 ^ x * 3 siempre funcionarán si x ≡ 1 (mod 6), es decir, x = 6k + 1 para el entero k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 Y [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDITAR Esto no proporciona todas las soluciones. Los de 4 dígitos parecen ser: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Estos representan dos "familias de soluciones" infinitas adicionales, a saber (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) y (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (¡Inesperado!) (Además, (10,6) nunca se mencionó. No me importa la cantidad de dígitos en este punto: me gustaría encontrar todas las soluciones integrales. Esta representa j = k = 0 en la familia de abajo.) De hecho, la primera familia y la segunda familia son realmente la misma: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) para cualquier integral j, k ≥ 0 Esta es una buena y difícil. Debo pensarlo un poco más después de un descanso. Todas estas 'familias' podrían de hecho ser subconjuntos de una (s) más general (s). EDITAR 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Estos los dos últimos son de interés. Son los primeros para los que x = 3y y x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) se encuentra fácilmente, al igual que x = my para el entero m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Si bien estas respuestas de 5 dígitos también se pueden extender a conjuntos de soluciones infinitos parametrizados, cualquier patrón o método de ataque que conduzca a una solución integral no me queda claro. (¿Quizás la utilización de la multiplicidad de factores primos mod 6 o el orden p-ádico de los números?) Además, en el último par, por primera vez s no es divisible uniformemente por t. (Había comenzado a conjeturar que siempre lo sería.) Este puede ser sólo uno de esos problemas cuya solución no conduce a una necesidad de construcción que cualquier fórmula que no sea una lista podría describir. Sin embargo, se deben analizar más puntos de datos antes de llegar a tal conclusión, y los números están aumentando muy rápidamente.



Respuesta 3:

hombre, son demasiadas variables para trabajar, necesitamos al menos una variable