Løsningsmetode til: "to 3-cifrede heltal med forskellen mellem deres terninger er en firkant og vv"?


Svar 1:

Rediger: for alle par heltal (m, n) betyder m ^ n GCD (m, n), der ikke skal forveksles med m ^ n, hvilket er m til magt n. Bemærk, at hvis (x, y) er en løsning, så (x * z ^ 6, y * z ^ 6) også er en løsning for alle z-heltal. Så du kan kalde primitiv opløsning, en løsning, hvor x ^ y ikke har nogen magt 6 eller større i sin primære nedbrydning. At kalde S = x + y og D = x - y reducerer problemet til at finde p og q således, at DS = p ^ 3 og D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2. Inden for en faktor 2 er D ^ S = x ^ y. kald c = D ^ S og skriv D = ac og S = bc. Derefter er DS = a * b * c ^ 2 = p ^ 3 Du kan skrive c = u ^ 3 * v ^ 2 * w på en unik måde, hvor u, v, w er firkantfrie, undtagen u, der kan være en mutliple på 4 . w og v er coprime. Vi får en * b * u ^ 6 * v ^ 4 * w ^ 2 = p ^ 3, så en * b * v * w ^ 2 er en terning, siger r ^ 3 Da w er kvadratfri, w | r, sig r = z * w så a * b * v * w ^ 2 = z ^ 3 * w ^ 3 det er en * b * v = z ^ 3 * w. Da w ^ v = 1, w | ab. Skriv a = m_a * w_a og b = m_b * w_b med w_a * w_b = w. Du ender med m_a * m_b * v = z ^ 3, med m_a ^ m_b = 1 og v kvadratfri. Dette lægger begrænsninger på m_a og m_b, nemlig at have ingen har ingen primfaktor med eksponent af formen 3 k + 1 Tilslutning til D (3S ^ 2 + D ^ 2) = q ^ 2 får vi en * c * (3 b ^ 2 * c ^ 2 + a ^ 2 * c ^ 2) = q ^ 2 er en firkant, så en * c * (3 b ^ 2 + a ^ 2) er firkantet; Men ac = m_a * w_a * u ^ 3 * v ^ 2 * w_a * w_b. så det er kvadratfri del er bare m_a * u * w_b. Så vi vil have m_a * u * w_b (3 b ^ 2 + a ^ 2) til at være en firkant. a, b og w gives, det bestemmer dig entydigt. Omvendt start med a



Svar 2:

To tal i formen 2 ^ x * 5 og 2 ^ x * 3 fungerer altid, hvis x ≡ 1 (mod 6), dvs. x = 6k + 1 for heltal k. [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 3 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 3 = 2 ^ (18k + 3) * [5 ^ 3 - 3 ^ 3] = 2 ^ (18k +3) * 2 * 49 = 2 ^ (18k + 4) * 7 ^ 2 = [2 ^ (9k + 2) * 7] ^ 2 OG [2 ^ (6k + 1) * 5] ^ 2 - [2 ^ (6k + 1) * 3] ^ 2 = 2 ^ (12k + 2) * [5 ^ 2 - 3 ^ 2] = 2 ^ (12k + 2) * 2 ^ 4 = 2 ^ (12k + 6) = [2 ^ (4k + 3)] ^ 3 EDIT Dette giver ikke alle løsninger. De 4-cifrede ser ud til at være: (7290, 4374) = (2 * 3 ^ 6 * 5, 2 * 3 ^ 7) (8954, 5687) = (2 * 11 ^ 2 * 37, 11 ^ 2 * 47 ) Disse repræsenterer yderligere to uendelige "familier af løsninger", nemlig (2 * 3 ^ (6k) * 5, 2 * 3 ^ (6k + 1)) og (2 * 11 ^ (6k + 2) * 37, 11 ^ (6k + 2) * 47) (Uventet!) (Desuden blev (10,6) aldrig nævnt. Jeg er ligeglad med antallet af cifre på dette tidspunkt: Jeg vil gerne finde alle integrerede løsninger. Denne repræsenterer j = k = 0 i familien nedenfor.) Faktisk er den første familie og den anden familie virkelig de samme: (2 ^ (6j + 1) * 3 ^ (6k) * 5, 2 ^ (6j + 1 ) * 3 ^ (6k + 1)) for enhver integral j, k ≥ 0 Dette er en god hård. Jeg må tænke over det lidt mere efter lidt hvile. Alle disse 'familier' kan faktisk være undergrupper af mere generelle (r). REDIGER 2: (52728, 17576) = (2 ^ 3 * 3 * 13 ^ 3, 2 ^ 3 * 13 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 11881376 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1352 ^ 3 (55566, 27783) = (2 * 3 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 7 ^ 3) x ^ 3 - y ^ 3 = 12252303 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 1323 ^ 3 Disse de sidste to er af interesse. De er de første, for hvilke x = 3y og x = 2y. (x = 4y → (2 ^ 2 * 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3, 3 ^ 4 * 5 ^ 4 * 7 ^ 3) er let at finde, ligesom x = my for heltal m) (70434, 64350) = (2 * 3 ^ 2 * 7 * 13 * 43, 2 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2 * 11 * 13) x ^ 3 - y ^ 3 = 9107748 ^ 2, x ^ 2 - y ^ 2 = 936 ^ 3 Selv om disse 5-cifrede svar også kan udvides til parametriserede uendelige løsningssæt, er ethvert mønster eller angrebsmetode, der vil føre til en omfattende løsning, stadig uklar for mig. (Måske udnyttelse af mangfoldigheden af ​​primfaktorer mod 6 eller den p-adiske rækkefølge af tallene?). I det sidste par er s for første gang ikke ligeligt delelig med t. (Jeg var begyndt at antage, at det altid ville være.) Dette er måske kun et af disse problemer, hvis løsning ikke fører til en konstruktionsnødvendighed, som en anden formel end en liste kunne beskrive. Imidlertid bør flere datapunkter analyseres, før de springer til en sådan konklusion, og tallene bliver store meget hurtigt.



Svar 3:

mand der er for mange variabler til at arbejde med, har vi brug for mindst en variabel